حل تمرین 2و3 صفحه 37 ریاضی و آمار دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه 37 ریاضی دهم انسانی این یک مسئله‌ی کلامی عالی است که با استفاده از **معادله گویا** و نهایتاً یک **معادله درجه دوم** حل می‌شود. ### گام ۱: تعریف متغیرها دو عدد زوج طبیعی متوالی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: * **عدد زوج اول:** $\mathbf{x}$ * **عدد زوج دوم (متوالی):** $\mathbf{x + 2}$ ### گام ۲: تشکیل معادله مجموع معکوس این دو عدد برابر $\mathbf{\frac{5}{12}}$ است: $$\mathbf{\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{5}{12}}$$ 1. **ریشه‌های غیرمجاز:** $\mathbf{x \neq 0}$ و $\mathbf{x \neq -2}$ 2. **مخرج مشترک:** $\mathbf{12x(x + 2)}$ 3. **ضرب در مخرج مشترک:** $$\mathbf{12(x + 2) + 12x = 5x(x + 2)}$$ $$\mathbf{12x + 24 + 12x = 5x^2 + 10x}$$ ### گام ۳: حل معادله درجه دوم $$\mathbf{24x + 24 = 5x^2 + 10x}$$ معادله را استاندارد می‌کنیم ($athbf{ax^2 + bx + c = 0}$): $$\mathbf{0 = 5x^2 + 10x - 24x - 24}$$ $$\mathbf{5x^2 - 14x - 24 = 0}$$ **روش تجزیه (به دلیل پیچیدگی، از $\mathbf{\Delta}$ استفاده می‌کنیم):** $$\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(5)(-24) = 196 + 480 = 676}$$ $$\mathbf{\sqrt{\Delta} = 26}$$ **یافتن ریشه‌ها:** $$\mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-14) \pm 26}{2(5)} = \frac{14 \pm 26}{10}}$$ 1. **ریشه‌ی اول ($athbf{x_1}$):** $\mathbf{x_1 = \frac{14 + 26}{10} = \frac{40}{10} = 4}$ 2. **ریشه‌ی دوم ($athbf{x_2}$):** $\mathbf{x_2 = \frac{14 - 26}{10} = \frac{-12}{10} = -1.2}$ (رد می‌شود، چون عدد طبیعی زوج نیست.) ### گام ۴: تعیین اعداد تنها جواب قابل قبول $\mathbf{x = 4}$ است (که یک عدد زوج طبیعی است). * **عدد زوج اول:** $\mathbf{x = 4}$ * **عدد زوج دوم:** $\mathbf{x + 2 = 6}$ **پاسخ نهایی:** آن دو عدد زوج طبیعی متوالی، **۴ و ۶** هستند. (تأیید: $\frac{1}{4} + rac{1}{6} = rac{3+2}{12} = rac{5}{12}$)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه 37 ریاضی دهم انسانی این یک مسئله‌ی متداول **کار و زمان** است که با استفاده از **معادله گویا** حل می‌شود. در این نوع مسائل، ما روی **نرخ انجام کار در واحد زمان** تمرکز می‌کنیم. ### گام ۱: تعریف متغیرها و نرخ کار * **زمان چاپگر جدیدتر:** $\mathbf{t}$ (ساعت) * **زمان چاپگر قدیمی‌تر:** $\mathbf{t + 3}$ (ساعت) **نرخ کار (بخش کار انجام شده در یک ساعت):** * **نرخ جدیدتر:** $\mathbf{\frac{1}{t}}$ * **نرخ قدیمی‌تر:** $\mathbf{\frac{1}{t + 3}}$ * **نرخ هر دو با هم:** $\mathbf{\frac{1}{4}}$ ### گام ۲: تشکیل معادله $$\mathbf{\text{نرخ جدیدتر} + \text{نرخ قدیمی‌تر} = \text{نرخ با هم}}$$ $$\mathbf{\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 3} = \frac{1}{4}}$$ 1. **ریشه‌های غیرمجاز:** $\mathbf{t \neq 0}$ و $\mathbf{t \neq -3}$ (و چون زمان است، $\mathbf{t > 0}$) 2. **مخرج مشترک:** $\mathbf{4t(t + 3)}$ 3. **ضرب در مخرج مشترک:** $$\mathbf{4(t + 3) + 4t = 1t(t + 3)}$$ $$\mathbf{4t + 12 + 4t = t^2 + 3t}$$ ### گام ۳: حل معادله درجه دوم $$\mathbf{8t + 12 = t^2 + 3t}$$ معادله را استاندارد می‌کنیم: $$\mathbf{t^2 + 3t - 8t - 12 = 0}$$ $$\mathbf{t^2 - 5t - 12 = 0}$$ **محاسبه $\mathbf{\Delta}$:** $\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(-12) = 25 + 48 = 73}$ **یافتن ریشه‌ها:** $$\mathbf{t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{2}}$$ **تأیید ریشه‌ها:** * $\mathbf{t_1 = \frac{5 + \sqrt{73}}{2} \approx \frac{5 + 8.54}{2} \approx 6.77}$ (قابل قبول) * $\mathbf{t_2 = \frac{5 - \sqrt{73}}{2}}$ (رد می‌شود، چون منفی است و زمان نمی‌تواند منفی باشد.) ### گام ۴: تعیین زمان هر چاپگر * **زمان چاپگر جدیدتر ($athbf{t}$):** $\mathbf{\frac{5 + \sqrt{73}}{2}}$ ساعت * **زمان چاپگر قدیمی‌تر ($athbf{t + 3}$):** $\mathbf{\frac{5 + \sqrt{73}}{2} + 3 = \frac{5 + \sqrt{73} + 6}{2} = \frac{11 + \sqrt{73}}{2}}$ ساعت **پاسخ نهایی:** * چاپگر جدیدتر: $\mathbf{\frac{5 + \sqrt{73}}{2}}$ ساعت ($athbf{\approx 6.77}$ ساعت) * چاپگر قدیمی‌تر: $\mathbf{\frac{11 + \sqrt{73}}{2}}$ ساعت ($athbf{\approx 9.77}$ ساعت) --- ### نکته آموزشی: این ریشه‌ها کمی غیرمنتظره هستند. در مسائل کار و زمان، گاهی اعداد به گونه‌ای انتخاب می‌شوند که ریشه‌های منطقی (مانند $\mathbf{6}$ و $\mathbf{9}$) به دست آیند. اگر $\mathbf{t^2 - 5t - 36 = 0}$ بود، ریشه‌ها $\mathbf{t=9}$ و $\mathbf{t=-4}$ می‌شدند.